Unmögliche Größen

Unmögliche Größen (eingebildete od. imaginäre G.), Größen, für welche sich keine positive od. negative Größe einschließlich der Null, welche jenen gegenüber reelle Größen heißen, als [246] Werth angeben läßt. Man rechnet in der Mathematik mit U-n G., wie mit wirklichen. Enthält aber das Endresultat U. G., welche auf keine Art aus demselben hinweggeschafft werden können, so ergibt sich hieraus, daß die Aufgabe selbst, wenigstens in dem ursprünglich festgesetzten Sinne der in ihr vorkommenden Größen, unmöglich ist, d.h. die Erfüllung sich widersprechende Bedingungen verlangt. Schon die Elementararithmetik führt auf U. G., denn jede Wurzel von der Form

ist imaginär, da hier die Wurzel weder = + x, noch = – x, noch = 0 sein kann. Dennoch kann auch mit diesen Ausdrücken gerechnet werden, u. so wie

ist, so auch jedesmal

Aber nicht bloß die Rechnungsresultate sogenannter U-r G. können Reelles liefern, sondern ihnen selbst ist neuerdings, namentlich durch Gauß, eine treffende Bedeutung als lateraler Größen untergelegt worden. Denkt man sich nämlich die positiven u. negativen reellen Größen als in einer geradlinigen Reihe nach der einen u. der entgegengesetzten Richtung fortschreitend, so hat man sich die mit + √ – 1 od. – √ – 1 behafteten Größen als rechtwinklig gegen jene Reihe nach der einen od. andern Seite fortschreitend vorzustellen, ferner Größen, welche den Factor

enthalten, als nach einer Richtung fortschreitend, die mit der ursprünglichen den vierten Theil eines gestreckten Winkels bildet etc.